Question

设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立，记。
（1）求数列与数列的通项公式；
（2）记，设数列的前项和为，求证：对任意正整数都有；

Answer 1

（1），；（2）祥见解析．

试题分析：（1）由已知及与的关系：，令n=1可求得的值，再将已知等式中的n换成n+1得，然后与已知式子：相减得到：，从而可得到：，这说明数列是公比为的等比数列，所以就可写出数列的通项公式，再代入就可得到数列的通项公式；（2）由（1）的结果，结合就可得到数列的通项公式，如果其前n项和可求，则先求出其前n项和再与比较大小；若直接求和比较难办，则注意思考先用放缩法将数列的通项公式放大成一个可求和的数列，则小于此数列的前n项和，而此此数列的前n项和恰好是小于或等于的，因此在放大的时候一定要注意适当放大且能求和是关键．
试题解析：（1）当时，      1分 
又       3分
∴数列是首项为，公比为的等比数列，     4分
∴，         6分 
（2）由得        7分

     10分
又   当时，，，     11分
当时，
∴对任意正整数都有。     14分