Question

15．某公园有一个直角三角形地块，现计划把它改造成一块矩形和两块三角形区域．如图，矩形区域用于娱乐城设施的建设，三角形BCD区域用于种植甲种观赏花卉，三角形CAE区域用于种植乙种观赏花卉．已知OA=4千米，OB=3千米，∠AOB=90°，甲种花卉每平方千米造价1万元，乙种花卉每平方千米造价4万元，设OE=x千米．试建立种植花卉的总造价为y（单位：万元）关于x的函数关系式；求x为何值时，种植花卉的总造价最小，并求出总造价．

Answer 1

分析 求出三角形BCD、三角形CAE区域的面积，可得函数解析式，利用配方法，可得函数的最值．

解答 解：由题意，CD=OE=x．由△BCD∽△BAO知BD=$\frac{3}{4}$x，所以S_△BCD=$\frac{3}{8}$x²．
同理得S_△CAE=$\frac{3}{8}$（x-4）²．…6分
所以，y=$\frac{3}{8}$[x²+（x-4）²×4]=$\frac{3}{8}$（5x²-32x+64），其中，0＜x＜4．…10分
y=$\frac{3}{8}$[5（x-$\frac{16}{5}$）²+$\frac{64}{5}$]…13分
因为0＜＜4，…14分
所以x=$\frac{16}{5}$时，y有最小值为4.8万元．…15分
答：x为$\frac{16}{5}$时，种植花卉的总造价最小，总造价最小值为4.8万元．

点评 本题考查利用数学知识解决实际问题，考查配方法的运用，确定函数的解析式是关键．