Question

10．如图，在三棱锥P-ABC中，△ABC是等边三角形，D是AC的中点，PA=PC，二面角P-AC-B的大小为60°；
（1）求证：平面PBD⊥平面PAC；
（2）求AB与平面PAC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）证明AC⊥面PBD，即可证明平面PBD⊥平面PAC；
（2）求出面PAC的法向量，利用向量的方法求AB与平面PAC所成角的正弦值．

解答 （1）证明：∵BD⊥AC，PD⊥AC，BD∩PD=D，
∴AC⊥面PBD，
又AC?面PAC，所以 面PAC⊥面PBD，
即平面平面PBD⊥平面PAC；
（2）解：如图建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），
令A（1，0，0），则B（0，$\sqrt{3}$，0），C（-1，0，0），
又∠PDB为二面角P-AC-B的平面角，得∠PDB=60°，
设DP=λ，则P（0，$\frac{λ}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$λ），
设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）为面PAC的法向量，则$\overrightarrow{AC}$=（-2，0，0），$\overrightarrow{AP}$=（-1，$\frac{λ}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$λ），
得$\left\{\begin{array}{l}{-2x=0}\\{-x+\frac{λ}{2}y+\frac{\sqrt{3}}{2}λz=0}\end{array}\right.$取y=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（0，$\sqrt{3}$，-1），
又$\overrightarrow{AB}$=（-1，$\sqrt{3}$，0）得 cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{AB}$＞=$\frac{3}{4}$，
∴AB与平面PAC所成角的正弦值为$\frac{3}{4}$．

点评 本题主要考查面面垂直的判定以及二面角的求解，综合考查了空间垂直的判定定理的应用．