Question

3．已知函数f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x，g（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$x，记函数h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x），f（x）≤g（x）}\\{g（x），f（x）＞g（x）}\end{array}\right.$，则不等式h（x）≥$\frac{1}{2}$的解集为（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]．

Answer 1

分析 确定f（x）与g（x）的图象交点的横坐标的范围，作出函数h（x）的图象，即可得到结论．

解答 解：记f（x）与g（x）的图象交点的横坐标为x=x₀，
∴f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜1=log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{1}{2}$=g（$\frac{1}{2}$），
∴x₀∈（$\frac{1}{2}$，1）．
由于f（x）与g（x）均为减函数，
∴h（x）为减函数，
∵h（x）≥$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$^x≥$\frac{1}{2}$=（$\frac{1}{2}$）¹，
∴x＜1，
∵log${\;}_{\frac{1}{2}}$x≥$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{1}{2}$=log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴0＜x≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
综上所述不等式的解集为（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]，
故答案为：（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]

点评 本题考查新定义，考查不等式的解法，考查数形结合的数学思想，属于中档题．