在矩阵A=$[\begin{array}{l}{a}&{2}\\{b}&{-1}\end{array}]$ 变换下得到点P′．试求矩阵A和它的逆矩阵A-1．(2)在平面直角坐标系xOy中.圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=m+2cosα\\ y=2sinα\end{array}$．以原点O为极点.以x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中.直线l的极坐� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

9．（1）已知点P（3，1）在矩阵A=$[\begin{array}{l}{a}&{2}\\{b}&{-1}\end{array}]$ 变换下得到点P′（5，-1）．试求矩阵A和它的逆矩阵A^-1．
（2）在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=m+2cosα\\ y=2sinα\end{array}$（α为参数，m为常数）．以原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$．若直线l与圆C有两个公共点，求实数m的取值范围．

分析（1）依题意得=$[\begin{array}{l}{a}&{2}\\{b}&{-1}\end{array}]$ $[\begin{array}{l}{3}\\{1}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{3a+2}\\{3b-1}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{5}\\{-1}\end{array}]$，即$\left\{\begin{array}{l}{3a+2=5}\\{3b-1=-1}\end{array}\right.$，解出即可得出A．det（A）=$|\begin{array}{l}{1}&{2}\\{0}&{-1}\end{array}|$=-1，即可得出A的逆矩阵A^-1．
（2）圆C的普通方程为（x-m）²+y²=4．直线l的极坐标方程化为ρ （$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosθ+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinθ）=$\sqrt{2}$，利用互化公式可得：直角坐标方程．利用点到直线的距离公式及其直线与圆的相交的充要条件即可得出．

解答解：（1）依题意得=$[\begin{array}{l}{a}&{2}\\{b}&{-1}\end{array}]$ $[\begin{array}{l}{3}\\{1}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{3a+2}\\{3b-1}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{5}\\{-1}\end{array}]$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3a+2=5}\\{3b-1=-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=0}\end{array}\right.$．
∴A=$[\begin{array}{l}{1}&{2}\\{0}&{-1}\end{array}]$．
∵det（A）=$|\begin{array}{l}{1}&{2}\\{0}&{-1}\end{array}|$=1×（-1）-0×2=-1，
∴A的逆矩阵A^-1=$[\begin{array}{l}{1}&{2}\\{0}&{-1}\end{array}]$．
（2）圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=m+2cosα\\ y=2sinα\end{array}$（α为参数，m为常数），利用平方关系可得：圆C的普通方程为（x-m）²+y²=4．
直线l的极坐标方程化为ρ （$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosθ+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinθ）=$\sqrt{2}$，
即$\frac{\sqrt{2}}{2}$x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$y=$\sqrt{2}$，化简得x+y-2=0．
∵圆C的圆心为C（m，0），半径为2，圆心C到直线l的距离d=$\frac{|m-2|}{\sqrt{2}}$，
∴d=$\frac{|m-2|}{\sqrt{2}}$＜2，
解得2-2$\sqrt{2}$＜m＜2+2$\sqrt{2}$．

点评本题考查了矩阵变换、行列式的计算、极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．