Question

17．以平面直角坐标系xOy的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，圆C的极坐标方程为ρ=4$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）．
（1）求直线l的普通方程与圆C的直角坐标系；
（2）设曲线C与直线l交于A、B两点，若P点的直角坐标为（2，1），求||PA|-|PB||的值．

Answer 1

分析 （1）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，消去t，求得普通方程：y=x-1，由ρ=4$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）=4sinθ+4cosθ，可得：ρ²=4ρsinθ+4ρcosθ，即可求得x²+y²-4x-4y=0圆C的直角坐标系；
（2）将参数方程代入曲线圆C的直角坐标系，可求得t²-$\sqrt{2}$t-7=0，由韦达定理可知t₁+t₂=$\sqrt{2}$，t₁•t₂=-7＜0，即t₁•t₂异号，可知||PA|-|PB||=|t₁+t₂|．

解答 解：（1）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，消去t，求得普通方程：y=x-1，
直线l的普通方程为：y=x-1，（1分）
ρ=4$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）=4sinθ+4cosθ，
∴ρ²=4ρsinθ+4ρcosθ，．
所以曲线C的直角坐标方程为x²+y²-4x-4y=0．（5分）
（2）点P（2，1）在直线l上，且在圆C内，把$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，代入x²+y²-4x-4y=0，得：t²-$\sqrt{2}$t-7=0，
设两个实根为t₁，t₂，则t₁+t₂=$\sqrt{2}$，t₁•t₂=-7＜0，即t₁•t₂异号．
∴||PA|-|PB||=||t₁|-|t₂||=|t₁+t₂|=$\sqrt{2}$．（10分）

点评 本题考查了参数方程化普通方程，考查了极坐标方程化直角坐标方程，一元二次方程根与系数的关系，属于基础题．