Question

在等比数列{a_n}中，a₁=2，且a_n+1=a_n+2ⁿ．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项a_n；
（Ⅱ）数列{a_n}中是否存在这样的两项a_p，a_q（p＜q），使得a_p+a_q=2014？若存在，求符合条件的所有的p，q；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：等比数列的性质,数列递推式

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）利用叠加法，可求数列{a_n}的通项a_n；
（Ⅱ）利用反证法，即可得出结论．

解答： 解：（Ⅰ）∵a_n+1=a_n+2ⁿ，∴a_n+1-a_n=2ⁿ，
∴a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）=2+2¹+…+2^n-1=2+

2(1-2n-1)

1-2

=2ⁿ（n≥2），
∵a₁=2，
∴a_n=2ⁿ；
（Ⅱ）假设存在这样的两项a_p，a_q（p＜q），使得a_p+a_q=2014，则
当q＞p≥2时，a_p+a_q=2^p+2^q=2^p（1+2^q-p）是4的倍数，但2014不是4的倍数；
p=1时，2014=a_p+a_q=2¹+2^q，∴2^q=2012，q不存在，
∴不存在这样的两项a_p，a_q（p＜q），使得a_p+a_q=2014．

点评：本题考查数列的通项，考查叠加法、反证法，属于中档题．