题目内容
已知△ABC，点O满足
=2
，过点O的直线与线段AB及AC的延长线分别相交于点E，F，设
=λ
，
=μ
，则8λ+μ的最小值是 ．
| OC |
| BO |
| AE |
| AB |
| AF |
| AC |
考点：平面向量数量积的运算
专题：计算题,综合题,平面向量及应用
分析：由三角形法则可得
=
+
，由E、O、F三点共线，得
=m
+(1-m)
=mλ
+（1-m）μ
，由
消掉m得，
+
=1，从而8λ+μ=（8λ+μ）•(
+
)，利用基本不等式可求答案．
| AO |
| 2 |
| 3 |
| AB |
| 1 |
| 3 |
| AC |
| AO |
| AE |
| AF |
| AB |
| AC |
|
| 2 |
| 3λ |
| 1 |
| 3μ |
| 2 |
| 3λ |
| 1 |
| 3μ |
解答：
解：∵
=2
，
∴
=
+
=
+
=
+
(
-
)
=
+
，
由E、O、F三点共线，得
=m
+(1-m)
=mλ
+（1-m）μ
，
∴
，消掉m得，
+
=1①，（
＜λ＜1，μ＞1），
∴8λ+μ=（8λ+μ）•(
+
)=
+（
+
）≥
+2
=
，
当且仅当
=
②时取等号，由①②可解得μ=
，λ=
，
故答案为：
．
| OC |
| BO |
∴
| AO |
| AB |
| BO |
| AB |
| 1 |
| 3 |
| BC |
=
| AB |
| 1 |
| 3 |
| AC |
| AB |
=
| 2 |
| 3 |
| AB |
| 1 |
| 3 |
| AC |
由E、O、F三点共线，得
| AO |
| AE |
| AF |
| AB |
| AC |
∴
|
| 2 |
| 3λ |
| 1 |
| 3μ |
| 2 |
| 3 |
∴8λ+μ=（8λ+μ）•(
| 2 |
| 3λ |
| 1 |
| 3μ |
| 17 |
| 3 |
| 2μ |
| 3λ |
| 8λ |
| 3μ |
| 17 |
| 3 |
|
| 25 |
| 3 |
当且仅当
| 2μ |
| 3λ |
| 8λ |
| 3μ |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
| 6 |
故答案为：
| 25 |
| 3 |
点评：本题考查向量加法的三角形法则、三点共线的条件及基本不等式求最值，考查学生综合运用知识解决问题的能力，属中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知实数x、y满足不等式组
，则z=x-y的最小值为（ ）
|
| A、-1 | ||
B、-
| ||
| C、-3 | ||
| D、3 |
若复数z=
（其中i是虚数单位），则|z|=（ ）
| ||
| 1+i |
A、2
| ||
B、
| ||
| C、1 | ||
| D、1 |