Question

9．已知非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足2|$\overrightarrow{a}$|=3|$\overrightarrow{b}$|，$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$）=$\overrightarrow{b}$²，则$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角的余弦值为$\frac{5}{12}$．

Answer 1

分析 将$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$）=$\overrightarrow{b}$²展开得到$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$关于${\overrightarrow{a}}^{2}$的表达式，再代入夹角公式计算即可．

解答 解：∵2|$\overrightarrow{a}$|=3|$\overrightarrow{b}$|，∴4${\overrightarrow{a}}^{2}$=9${\overrightarrow{b}}^{2}$，即${\overrightarrow{b}}^{2}$=$\frac{4}{9}$${\overrightarrow{a}}^{2}$，
∵$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$）=$\overrightarrow{b}$²，∴${\overrightarrow{a}}^{2}$-2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=${\overrightarrow{b}}^{2}$=$\frac{4}{9}{\overrightarrow{a}}^{2}$，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$\frac{5}{18}$${\overrightarrow{a}}^{2}$，
∴cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$=$\frac{\frac{5}{18}{\overrightarrow{a}}^{2}}{|\overrightarrow{a}|•\frac{2}{3}|\overrightarrow{a}|}$=$\frac{5}{12}$．
故答案为：$\frac{5}{12}$．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，夹角计算，属于中档题．