Question

7．已知函数f（x）=$\frac{{x}^{2}}{{x}^{2}+1}$，设f（n）=a_n（n∈N₊），求证：$\frac{1}{2}$≤a_n＜1．

Answer 1

分析 根据f（x）的解析式求出a_n=f（n），利用分离常数法化简a_n，利用a_n的单调性和n∈N₊判断出$\frac{1}{2}$≤a_n＜1．

解答 证明：由题意得，f（x）=$\frac{{x}^{2}}{{x}^{2}+1}$，
∴a_n=f（n）=$\frac{{n}^{2}}{{n}^{2}+1}$=$\frac{{n}^{2}+1-1}{{n}^{2}+1}$=1-$\frac{1}{{n}^{2}+1}$，
∵n∈N₊，∴$\frac{1}{{n}^{2}+1}$随n的增大而减小，则$0＜\frac{1}{{n}^{2}+1}≤\frac{1}{2}$，
∴$-\frac{1}{2}≤-\frac{1}{{n}^{2}+1}＜0$，则$\frac{1}{2}≤1-\frac{1}{{n}^{2}+1}＜1$，
即$\frac{1}{2}$≤a_n＜1成立．

点评 本题是函数与数列结合的题，考查了利用数列的单调性求通项公式的范围，以及分离常数法，属于中档题．