Question

16．在平面直角坐标系中，以（0，-1）为圆心且与直线ax+y+$\sqrt{2{a^2}+2a+2}$+1=0（a∈R）相切的所有圆中，最大圆面积与最小圆面积的差为2π．

Answer 1

分析 圆半径r=$\sqrt{2+\frac{2a}{{a}^{2}+1}}$，a=-1时，r_min=$\sqrt{2-1}$=1，a=1时，r_max=$\sqrt{2+1}$=$\sqrt{3}$，由此能求出最大圆面积与最小圆面积的差．

解答 解：∵圆以（0，-1）为圆心且与直线ax+y+$\sqrt{2{a^2}+2a+2}$+1=0（a∈R）相切，
∴圆半径r=$\frac{|\sqrt{2{a}^{2}+2a+2}|}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$=$\sqrt{\frac{2{a}^{2}+2a+2}{{a}^{2}+1}}$=$\sqrt{2+\frac{2a}{{a}^{2}+1}}$，
∴a=-1时，r_min=$\sqrt{2-1}$=1，最小圆面积S_min=π×1²=π，
a=1时，r_max=$\sqrt{2+1}$=$\sqrt{3}$，最大圆面积S_max=$π×（\sqrt{3}）^{2}$=3π，
∴最大圆面积与最小圆面积的差为：3π-π=2π．
故答案为：2π．

点评 本题考查以定点为圆心与定直线相切的所有圆中，最大圆面积与最小圆面积的差的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质、点到直线的距离公式的合理运用．