Question

已知f（x）=a^x+

x-2

x+1

（a＞1）．用反证法证明方程f（x）=0没有负数根．

Answer 1

考点：反证法与放缩法

专题：证明题,反证法

分析：假设f（x）=0 有负根 x₀，即 f（x₀）=0，根据f（0）=-1，可得 f（x₀）＞f（0）①，若-1＜x₀＜0，由条件可得f（x₀）＜f（0）=-1，这与①矛盾，若x₀＜-1，可得 f（x₀）＞0，这也与①矛盾．

解答： 证明：假设f（x）=0 有负根 x₀，且 x₀≠-1，即 f（x₀）=0．
根据f（0）=-1，可得 f（x₀）＞f（0）①． 
若-1＜x₀＜0，由a＞1，可知y=a^x是增函数，y=

x-2

x+1

在（-1，+∞）是增函数，可知函数f（x）=a^x+

x-2

x+1

在（-1，+∞）是增函数，可得f（x₀）＜f（0）=-1，这与①矛盾．
若x₀＜-1，则 ax0＞0，x₀-2＜0，x₀+1＜0，∴f（x₀）＞0，这与题目条件矛盾．
故假设不正确．
∴方程a^x+

x-2

x+1

=0 没有负根．

点评：本题考查用反证法证明数学命题，推出矛盾，是解题的关键和难点．