Question

现有甲、乙、丙三人参加某电视台的应聘节目《非你莫属》，若甲应聘成功的概率为

1

2

，乙、丙应聘成功的概率均为

t

2

（0＜t＜2），且三个人是否应聘成功是相互独立的．
（Ⅰ）若乙、丙有且只有一个人应聘成功的概率等于甲应聘成功是相互独立的，求t的值；
（Ⅱ）记应聘成功的人数为ξ，若当且仅当ξ为2时概率最大，求E（ξ）的取值范围．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,相互独立事件的概率乘法公式

专题：应用题,概率与统计

分析：（Ⅰ）根据乙、丙有且只有一个人应聘成功的概率等于甲应聘成功是相互独立的，建立方程，即可求t的值；
（Ⅱ）ξ的所有可能取值为0，1，2，3，求出相应的概率，即可得到ξ的分布列和期望，利用当且仅当ξ为2时概率最大，即可求E（ξ）的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）由题意得2×

t

2

×(1-

t

2

)=

1

2

，解得t=1．…（3分）
（Ⅱ）ξ的所有可能取值为0，1，2，3，
P(ξ=0)=(1-

1

2

)(1-

t

2

)(1-

t

2

)=

(2-t)2

8

；P(ξ=1)=

1

2

×(1-

t

2

)×(1-

t

2

)+2×(1-

1

2

)×

t

2

×(1-

t

2

)=

4-t2

8

；P(ξ=2)=2×

1

2

×

t

2

×(1-

t

2

)+(1-

1

2

)×

t

2

×

t

2

=

4t-t2

8

；
P(ξ=3)=

1

2

×

t

2

×

t

2

=

t2

8

．
故ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	(2-t)2 8	4-t2 8	4t-t2 8	t2 8

…（7分）∴Eξ=t+

1

2

．…（8分）
由题意得：P(ξ=2)-P(ξ=1)=

t-1

2

＞0，P(ξ=2)-P(ξ=0)=

-t2+4t-2

4

＞0，P(ξ=2)-P(ξ=3)=

2t-t2

4

＞0，
又因为0＜t＜2
所以解得t的取值范围是1＜t＜2．…（11分）
所以

3

2

＜Eξ＜

5

2

．…（12分）

点评：本题考查互斥事件的概率公式，考查离散型随机变量的分布列与期望，确定变量的取值，求出概率是关键．