Question

16．设命题p：?x∈R，都有ax²＞-ax-1（a≠0）恒成立；命题q：圆x²+y²=a²与圆（x+3）²+（y-4）²=4外离．如果命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 分别求出命题p，q为真时实数a的取值范围．再由命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，p，q一真一假，可得实数a的取值范围．

解答 解：p：不等式ax²+ax+1＞0（a≠0）对x∈R恒成立，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△＜0}\end{array}}\right.$
∴0＜a＜4．…（3分）
q：设两个圆的圆心距为d．
∴$d=\sqrt{{{（-3）}^2}+{4^2}}=5$．
∵两圆外离，
∴d＞|a|+2，
∴|a|＜3，
∴-3＜a＜3．…（6分）
∵命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，
∴p，q一真一假．…（8分）
①p真q假时，$\left\{{\begin{array}{l}{0＜a＜4}\\{a≤-3或a≥3}\end{array}}\right.$，
∴3≤a＜4…（10分）
②p假q真时，$\left\{{\begin{array}{l}{a≤0或a≥4}\\{-3＜a＜3}\end{array}}\right.$，
∴-3＜a≤0．…（12分）
综上所述，实数a的取值范围为（-3，0]∪[3，4）．…（14分）

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，二次函数的图象和性质，圆和圆的位置关系，难度中档．