Question

5．已知函数f（x）=$\frac{{x}^{2}+ax+4}{x}$（a＞0）．
（1）证明函数f（x）在（0，2]上是减函数，（2，+∞）上是增函数；
（2）若方程f（x）=0有且只有一个实数根，判断函数g（x）=f（x）-4的奇偶性；
（3）在（2）的条件下探求方程f（x）=m（m≥8）的根的个数．

Answer 1

分析 （1）利用导数的正负，即可证明；
（2）求出g（x）=x+$\frac{4}{x}$，又g（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称，利用奇函数的定义进行判断；
（3）由（2）知f（x）=m可化为x+$\frac{4}{x}$=m-4（m≥8），再分类讨论，即可得出结论．

解答 证明：（1）由题意：f（x）=x+$\frac{4}{x}$+a，
∴f′（x）=$\frac{{x}^{2}-4}{{x}^{2}}$，
∴0＜x＜2时，f′（x）＜0，x＞2时，f′（x）＞0，
∴函数f（x）在（0，2]上是减函数，（2，+∞）上是增函数          …（4分）
解：（2）由题意知方程x²+ax+4=0有且只有一个实数根
∴△=a²-16=0，
又a＞0，∴a=4．…（5分）
此时f（x）=x+$\frac{4}{x}$+4，g（x）=x+$\frac{4}{x}$，
又g（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称，…（6分）
且g（-x）=-x-$\frac{4}{x}$=-g（x），…（7分）
∴g（x）是奇函数                                 …（8分）
（3）由（2）知f（x）=m可化为x+$\frac{4}{x}$=m-4（m≥8）…（9分）
又由（1）（2）知：
当m-4=4  即m=8时f（x）=m只有一解            …（10分）
当m-4＞4即m＞8时f（x）=m有两解            …（11分）
综上，当m=8时f（x）=m只有一解；当m＞8时f（x）=m有两解；                …（12分）

点评 本题考查函数的单调性与奇偶性，考查方程解的个数的判断，属于中档题．