在△ABC中.a.b.c是角A.B.C对应的边.向量$\overrightarrow{m}$=.$\overrightarrow{n}$=.且$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=ab．(1)求角Ccos2sin-$\frac{1}{2}$的相邻两条对称轴分别为x=x0.x=x0+$\frac{π}{2}$.求f(x)在区间[-π.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

4．在△ABC中，a，b，c是角A，B，C对应的边，向量$\overrightarrow{m}$=（a+b，-c），$\overrightarrow{n}$=（a+b，c），且$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=（2+$\sqrt{3}$）ab．
（1）求角C
（2）函数f（x）=2sin（A+B）cos²（ωx）-cos（A+B）sin（2ωx）-$\frac{1}{2}$（ω＞0）的相邻两条对称轴分别为x=x₀，x=x₀+$\frac{π}{2}$，求f（x）在区间[-π，π]上的单调递增区间．

分析（1）根据平面向量的数量积运算，结合余弦定理，即可求出C的值；
（2）利用三角恒等变换化简f（x），根据正弦函数的图象与性质即可求出f（x）的单调递增区间．

解答解：（1）因为向量$\overrightarrow{m}$=（a+b，-c），$\overrightarrow{n}$=（a+b，c），且$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=（2+$\sqrt{3}$）ab，
所以a²+b²-c²=$\sqrt{3}$ab，故cosC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
0＜C＜π，∴C=$\frac{π}{6}$；…（4分）
（2）f（x）=2sin（A+B）cos²（ωx）-cos（A+B）sin（2ωx）-$\frac{1}{2}$
=2sinCcos²ωx+cosCsin2ωx-$\frac{1}{2}$
=cos²ωx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx-$\frac{1}{2}$
=sin（2ωx+$\frac{π}{6}$），…（7分）
因为相邻两条对称轴分别为x=x₀，x=x₀+$\frac{π}{2}$，
所以f（x）的最小正周期为T=π，ω=1；
所以f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）；…（9分）
由2kπ-$\frac{π}{2}$＜2x+$\frac{π}{6}$＜2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z；…（10分）
又因为x∈[-π，π]，
所以f（x）的单调递增区间为[-π，-$\frac{5π}{6}$]，[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]，[$\frac{2π}{3}$，π]．…（12分）