Question

设z₁，z₂是两个复数，已知z₁=3-4i，|z₂|=5，且z1•

.

z2

为纯虚数．
（Ⅰ）求z₂；
（Ⅱ）设复数z=x+yi（x，y∈R）对应复平面上动点Z（x，y），求满足|z-z₂|=3的动点Z的轨迹及轨迹方程．

Answer 1

考点：复数的代数表示法及其几何意义,复数代数形式的乘除运算

专题：数系的扩充和复数

分析：（Ⅰ）根据复数的基本运算即可求z₂；
（Ⅱ）根据复数的几何意义即可得到结论．

解答： 解：（Ⅰ）设z₂=a+bi（a，b∈R），则由|z₂|=5得a²+b²=25…（1）
∵z1•

.

z2

=(3-4i)(a-bi)=(3a-4b)-(3b+4a)i为纯虚数，
∴3a-4b=0…（2），
解（1）（2）得

a=4 b=3

或

a=-4 b=-3

，
∴z₂=4+3i或∴z₂=-4-3i．
（Ⅱ）当z₂=4+3i时由|z-z₂|=3得轨迹方程（x-4）²+（y-3）²=9，
∴动点的轨迹为以（4，3）为圆心，3为半径的圆；
当z₂=-4-3i，由|z-z₂|=3得轨迹方程（x+4）²+（y+3）²=9，动点的轨迹为以（-4，-3）为圆心，3为半径的圆．

点评：本题主要考查复数的基本运算，要求熟练掌握复数的运算法则和几何意义．