题目内容
已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，（a，b，c∈R）的一个零点为x=1，另外两个零点分别可作为椭圆和双曲线的离心率，则
的取值范围是 ．
| b |
| a |
考点：椭圆的应用,双曲线的简单性质
专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：把x=1，y=0代入函数解析式求得a+b+c的值；然后求得a，b和c的关系代入函数解析式消去c，整理成f（x）=（x-1）（x2+x+1）+a（x+1）（x-1）+b（x-1）的形式，设g（x）=x2+（a+1）x+1+a+b椭圆和双曲线的离心率的范围确定两根的范围确定g（0）＞0，g（1）＜0，最后利用线性规划求得
的范围．
| b |
| a |
解答：
解：依题意可知f（1）=1+a+b+c=0
∴a+b+c=-1
1+a+b+c=0得c=-1-a-b代入
f（x）=x3+ax2+bx-1-a-b
=（x-1）（x2+x+1）+a（x+1）（x-1）+b（x-1）
设g（x）=x2+（a+1）x+1+a+b
g（x）=0的两根满足0＜x1＜1 x2＞1
g（0）=1+a+b＞0
g（1）=3+2a+b＜0
用线性规划得
的取值范围是(-2，-
)．
故答案为：(-2，-
)．
解：依题意可知f（1）=1+a+b+c=0∴a+b+c=-1
1+a+b+c=0得c=-1-a-b代入
f（x）=x3+ax2+bx-1-a-b
=（x-1）（x2+x+1）+a（x+1）（x-1）+b（x-1）
设g（x）=x2+（a+1）x+1+a+b
g（x）=0的两根满足0＜x1＜1 x2＞1
g（0）=1+a+b＞0
g（1）=3+2a+b＜0
用线性规划得
| b |
| a |
| 1 |
| 2 |
故答案为：(-2，-
| 1 |
| 2 |
点评：本题主要考查了函数的零点和根的分布，圆锥曲线的共同特征，线性规划的基础知识．考查基础知识的综合运用．
练习册系列答案
相关题目
设θ∈（
，π），则关于x、y的方程
-
=1所表示的曲线是（ ）
| 3π |
| 4 |
| x2 |
| sinθ |
| y2 |
| cosθ |
| A、焦点在y轴上的双曲线 |
| B、焦点在x轴上的双曲线 |
| C、焦点在y轴上的椭圆 |
| D、焦点在x轴上的椭圆 |
P是椭圆
+
=1上的动点，作PD⊥y轴，D为垂足，则PD中点的轨迹方程为（ ）
| x2 |
| 16 |
| y2 |
| 9 |
A、
| ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
D、
|