Question

下列命题：
①设a，b∈R，a²+2b²=6，则a+b的最小值是-3；
②已知x³+sinx-2a=0，4y³+sinycosy+a=0，则cos（x+2y）=0；
③若（z-x）²-4（x-y）（y-z）=0，则x，y，z成等差数列；
④已知函数f（x）满足f（1）=

1

3

，3f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y），（x，y∈R）则f（2013）=3；
其中正确的命题是

 

．（把你认为正确命题的序号都填上）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：综合题

分析：①利用参数法，设a=

6

cosθ，b=

3

sinθ，求出a+b的最小值即可；
②设f（u）=u³+sinu，根据题意得f（x）=2a，f（2y）=-2a，根据函数的奇偶性得f（-x）=-f（2y）=f（-2y），推断出x+2y=0，从而得cos（x+2y）；
③化简（z-x）²-4（x-y）（y-z）=0，得出x+z=2y，即x，y，z成等差数列；
④由题意，求出函数f（x）是周期T=6的函数，化简f（2013）=f（3），求出f（3）的值．

解答： 解：对于①，∵a，b∈R，a²+2b²=6，
∴

a2

6

+

b2

3

=1，设a=

6

cosθ，b=

3

sinθ，θ∈（0，2π），
∴a+b=

6

cosθ+

3

sinθ=3sin（θ+α），其中tanα=

6

3

；
当sin（θ+α）=-1时，a+b取得最小值-3，∴①正确；
对于②，设f（u）=u³+sinu，
由x³+sinx-2a=0，得f（x）=2a，
由4y³+sinycosy+a=0，即

1

2

（2y）³+

1

2

sin2y+a=0，得f（2y）=-2a，
∵f（u）在区间[-

π

4

，

π

4

]上是单调奇函数，
∴f（x）=-f（2y）=f（-2y），
∴x=-2y，即x+2y=0，
∴cos（x+2y）=1，②错误；
对于③，当（z-x）²-4（x-y）（y-z）=0时，z²-2zx+x²-4（xy-xz-y²+yz）=0，
即z²+x²+4y²+2zx-4xy-4yz=0，∴（x+z-2y）²=0，∴x+z=2y，
∴x，y，z成等差数列，∴③正确；
对于④，∵f（1）=

1

3

，令y=1，得3f（x）f（1）=f（x+1）+f（x-1），
即f（x）=f（x+1）+f（x-1），∴f（x+1）=f（x）-f（x-1）；…①
用x+1替换x，得f（x+2）=f（x+1）-f（x）；…②
①+②得，f（x+2）=-f（x-1），
再用x+1替换x，得f（x+3）=-f（x），
∴f（x+6）=f[（x+3）+3]=-f（x+3）=-[-f（x）]=f（x），
函数f（x）是周期T=6的周期函数，
∴f（2013）=f（335×6+3）=f（3），
∵3f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y），
∴令y=0，得3f（x）f（0）=2f（x），得f（0）=

2

3

，
在3f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y）中，令x=y=1，得3f²（1）=f（2）+f（0），
∴3×(

1

3

)2=f（2）+

2

3

，解得f（2）=-

1

3

；
同理，在3f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y）中，
令x=2，y=1，解得f（3）=-

2

3

，
∴f（2013）=f（3）=-

2

3

，∴④错误；
综上，正确的命题是 ①③．
故答案为：①③．

点评：本题考查了参数方程的应用问题，函数的单调性与奇偶性问题，也考查了等差数列的应用问题，函数的周期性问题，是较难的题目．