Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），右焦点为F（

3

，0），且点B（0，1）在椭圆C上．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知A₁，A₂分别是椭圆C的左，右顶点，M是第一象限内椭圆上一点，直线MA₂，MA₁分别与y轴交于P，Q两点，PB=2BQ，求M点的坐标．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）根据椭圆的几何性质求解c=

3

，b=1，a=2，可得方程，（2）设M点的坐标为（x₀，y₀），根据题意得出

x02

4

+y₀²=1，x₀＞0，y₀＞0，1-

2y0

2-x0

=2（

2y0

x0+2

-1）
即3x

2 0

+12y₀-2x₀y₀=12，联立方程组求解即可．

解答： 解：（1）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），右焦点为F（

3

，0），且点B（0，1）在椭圆C上，
∴c=

3

，b=1，a=2，
∴椭圆C的标准方程为：

x2

4

+y²=1，
（2）∵A₁，A₂分别是椭圆C的左，右顶点，
∴A₁（-2，0），A₂（2，0），B（0，1）
设M点的坐标为（x₀，y₀）．
∵M是第一象限内椭圆上一点，直线MA₂，MA₁分别与y轴交于P，Q两点，PB=2BQ，
∴

x02

4

+y₀²=1，x₀＞0，y₀＞0，①
y_p=

2y0

2-x0

，y_Q=

2y0

x0+2

，
∵PB=2BQ，
∴1-

2y0

2-x0

=2（

2y0

x0+2

-1）
即3x

2 0

+12y₀-2x₀y₀=12，②
有①②解得：x₀=6-6y₀，③
6-6y₀＞0，y₀＜1
把③代入①得：5y

2 0

-9y₀+4=0，
即：y₀=1（舍去），y₀=

4

5

，
把y₀=

4

5

，代入③得；x₀=

6

5

，
∴M点的坐标（

6

5

，

4

5

）

点评：本题考查了椭圆难度性质，方程，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．