Question

5．已知点P是圆x²+y²=4上的动点，点A，B，C是以坐标原点为圆心的单位圆上的动点，且$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$=0，则|$\overrightarrow{PA}$$+\overrightarrow{PB}$$+\overrightarrow{PC}$|的最小值为（　　）

• A． 4
• B． 5
• C． 6
• D． 7

Answer 1

分析 由题意画出图形，把$\overrightarrow{PA}$$+\overrightarrow{PB}$$+\overrightarrow{PC}$用向量$\overrightarrow{PO}$与$\overrightarrow{OB}$表示，然后利用向量模的运算性质求得|$\overrightarrow{PA}$$+\overrightarrow{PB}$$+\overrightarrow{PC}$|的最小值．

解答 解：∵$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$=0
∴AB⊥BC，即∠ABC=90°，
∴AC为△ABC外接圆直径，
如图，设坐标原点为O，
则$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{OC}$=$3\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{OB}$，
∵P是圆x²+y²=4上的动点，
∴$|\overrightarrow{PO}|=2$，
∴|$\overrightarrow{PA}$$+\overrightarrow{PB}$$+\overrightarrow{PC}$|=$|3\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{OB}|≥3|\overrightarrow{PO}|-|\overrightarrow{OB}|=5$．
当$\overrightarrow{OP}$与$\overrightarrow{OB}$共线时，取得最小值5．
故选：B．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了直线与圆位置关系的应用，体现了数学转化思想方法，是中档题．