Question

过抛物线y²=x的顶点O作两条相互垂直的弦OA，OB，求△AOB面积的最小值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）与x轴的交点M点的坐标为（x₀，0），直线l方程为 x=my+x₀，代入y²=x，根据OA⊥OB．求出m的值，然后表示出△AOB的面积，求解三角形面积的最小值即可．

解答： 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）与x轴的交点M点的坐标为（x₀，0），直线l方程为 x=my+x₀，代入y²=x得
y²-my-x₀=0        ①，
y₁、y₂是此方程的两根，
∴x₀=-y₁y₂，
∵x₁x₂+y₁y₂=y₁²y₂²+y₁y₂=y₁y₂（y₁y₂+1）=0，
∴y₁y₂=-1
∴x₀=1．
由方程①，y₁+y₂=m，y₁y₂=-1，且|OM|=x₀=1，
于是S_△AOB=

1

2

|OM||y₁-y₂|=

1

2

(y1+y2)2-4y1y2

=

1

2

m2+4

≥1，
∴当m=0时，△AOB的面积取最小值1．

点评：本题考查抛物线的简单性质，考查三角形面积的最小值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意抛物线性质的合理运用．