Question

如图，将∠B=

π

3

，边长为1的菱形ABCD沿对角线AC折成大小等于θ的二面角B-AC-D，若θ∈[

π

3

，

2π

3

]，M、N分别为AC、BD的中点，则下面的四种说法：
①AC⊥MN；
②DM与平面ABC所成的角是θ；
③线段MN的最大值是

3

4

，最小值是

3

4

；
④当θ=

π

2

时，BC与AD所成的角等于

π

2

．
其中正确的说法有

 

（填上所有正确说法的序号）．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题

专题：空间位置关系与距离

分析：①连接BM，DM．则BM⊥AC，DM⊥AC，可得AC⊥平面BMD，即可得出AC⊥BD，即可判断出正误；
②由①可得：DM与平面ABC所成的角是θ或π-θ，即可判断出正误；
③BM=

3

2

，当θ=

2π

3

时，MN取得最小值，MN=BMcos

π

3

；当θ=

π

3

时，MN取得最大值，MN=BMcos

π

6

，即可判断出正误；
④分别取AB，CD，CM的中点E，F，P，连接EM，MF，EF，EP，FP．则∠EMF或其补角是BC与AD所成的角，通过计算即可判断出正误．

解答： 解：如图所示．
①连接BM，DM．则BM⊥AC，DM⊥AC，BM∩DM=M，∴AC⊥平面BMD，∴AC⊥BD，因此正确；
②由①可得：DM与平面ABC所成的角是θ或π-θ，因此不正确；
③BM=

3

2

，当θ=

2π

3

时，MN取得最小值，MN=BMcos

π

3

=

3

4

，当θ=

π

3

时，MN取得最大值，MN=BMcos

π

6

=

3

4

，因此正确；
④分别取AB，CD，CM的中点E，F，P，连接EM，MF，EF，EP，FP．则∠EMF或其补角是BC与AD所成的角，∵FP=

1

2

DM=

3

4

，
EP²=(

1

2

)2+(

1

4

)2-2×

1

2

×

1

4

×cos120°=

7

16

，EP=

7

4

．∵FP⊥平面ABC，∴FP⊥EP，∴EF²=EP²+FP²=

10

16

，EM²+FM²=(

1

2

)2×2=

1

2

，∴EF²≠EM²+FM²，∴∠EMF≠

π

2

，因此不正确．
故答案为：①③．

点评：本题考查了二面角的定义及其性质、线面垂直的判定与性质定理、三角形的中位线定理、勾股定理、余弦定理、空间角、菱形的性质，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．