Question

4．若数列{a_n}是正项数列，且$\sqrt{{a}_{1}}$+$\sqrt{{a}_{2}}$+$\sqrt{{a}_{3}}$+…+$\sqrt{{a}_{n}}$=n²+n（n∈N^*），则$\frac{1}{{a}_{1}-1}$+$\frac{1}{{a}_{2}-1}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{n}{2n+1}$．

Answer 1

分析 由数列{a_n}是正项数列，且$\sqrt{{a}_{1}}$+$\sqrt{{a}_{2}}$+$\sqrt{{a}_{3}}$+…+$\sqrt{{a}_{n}}$=n²+n（n∈N^*），得a_n＞0，且$\sqrt{{a}_{1}}$+$\sqrt{{a}_{2}}$+$\sqrt{{a}_{3}}$+…+$\sqrt{{a}_{n-1}}$=（n-1）²+（n-1）（n≥2），两式相减得$\sqrt{{a}_{n}}$=2n，从而${a}_{n}=4{n}^{2}$，进而$\frac{1}{{a}_{n}-1}=\frac{1}{4{n}^{2}-1}$=$\frac{1}{（2n+1）（2n-1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$），由此利用裂项求和法能出$\frac{1}{{a}_{1}-1}$+$\frac{1}{{a}_{2}-1}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}-1}$的值．

解答 解：∵数列{a_n}是正项数列，且$\sqrt{{a}_{1}}$+$\sqrt{{a}_{2}}$+$\sqrt{{a}_{3}}$+…+$\sqrt{{a}_{n}}$=n²+n（n∈N^*），①
∴a_n＞0，且$\sqrt{{a}_{1}}$+$\sqrt{{a}_{2}}$+$\sqrt{{a}_{3}}$+…+$\sqrt{{a}_{n-1}}$=（n-1）²+（n-1）（n≥2），②
①-②，得：$\sqrt{{a}_{n}}$=2n，
∴${a}_{n}=4{n}^{2}$，∴$\frac{1}{{a}_{n}-1}=\frac{1}{4{n}^{2}-1}$=$\frac{1}{（2n+1）（2n-1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$），
∴$\frac{1}{{a}_{1}-1}$+$\frac{1}{{a}_{2}-1}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}-1}$
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$=$\frac{n}{2n+1}$．
故答案为：$\frac{n}{2n+1}$．

点评 本题考查数列前n项和的求法，考查裂项求和法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．