Question

14．已知f（x）=（a²-a-1）x^a（a是常数）为幂函数，且在第一象限单调递增．
（1）求f（x）的表达式；
（2）讨论函数g（x）=$\frac{f（x）+3x+1}{x}$在（-$\sqrt{2}$，+∞）上的单调性，并证之．

Answer 1

分析 （1）由f（x）为幂函数，且在第一象限单调递增，列出方程组，能求出f（x）的表达式．
（2）推导出g（x）=x+$\frac{2}{x}$+3，利用定义法和分类讨论思想能求出结果．

解答 解：（1）∵f（x）=（a²-a-1）x^a（a是常数）为幂函数，且在第一象限单调递增．
∴由题意得：$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-a-1=1}\\{a＞0}\end{array}\right.$，解得a=2，
∴f（x）=x²．
（2）g（x）=$\frac{f（x）+3x+1}{x}$=$\frac{{x}^{2}+3x+1}{x}$=x+$\frac{2}{x}$+3，
任取x₁，x₂∈（-$\sqrt{2}，+∞$），且x₁＜x₂，
则g（x₁）-g（x₂）=（${x}_{1}+\frac{2}{{x}_{1}}+3$）-（${x}_{2}+\frac{2}{{x}_{2}}$+3）
=（x₁-x₂）+（$\frac{2}{{x}_{1}}-\frac{2}{{x}_{2}}$）=$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}{x}_{2}-2）}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
①当-$\sqrt{2}＜{x}_{1}＜{x}_{2}$＜0时，x₁x₂-2＜0，x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，
∴g（x₁）-g（x₂）＞0，即g（x₁）＞g（x₂），
∴g（x）在（-$\sqrt{2}$，0）上单调递减．
②当0＜${x}_{1}＜{x}_{2}＜\sqrt{2}$时，x₁x₂-2＜0，x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，
∴g（x₁）-g（x₂）＞0，即g（x₁）＞g（x₂），
∴g（x）在（0，$\sqrt{2}$）上单调递减．
③当$\sqrt{2}≤{x}_{1}＜{x}_{2}$时，x₁x₂-2＜0，x₁-x₂＜0，x₁x₂＜0，
∴g（x₁）-g（x₂）＜0，即g（x₁）＜g（x₂），
∴g（x）在[$\sqrt{2}$，+∞）上单调递增．

点评 本题考查函数的解析式的求法，考查函数的单调性质的讨论与证明，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、分类与整合思想，是中档题．