Question

双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程是y＝x，坐标原点到直线AB的距离为，其中A(a,0)，B(0，－b)．

(1)求双曲线的方程；

(2)若B₁是双曲线虚轴在y轴正半轴上的端点，过点B作直线交双曲线于点M，N，求当时，直线MN的方程．

Answer 1

解析：(1)设直线AB的方程为－＝1，由已知条件得解得a＝，b＝3.

∴双曲线方程为－＝1.

 (2)由(1)知B(0，－3)，B₁(0,3)．设M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)，直线l：y＝kx－3.

由消去y，整理得(3－k²)·x²＋6kx－18＝0，

∴x₁＋x₂＝，y₁＋y₂＝k(x₁＋x₂)－6＝，

x₁x₂＝，y₁y₂＝k²x₁x₂－3k(x₁＋x₂)＋9＝9.

∵＝(x₁，y₁－3)，＝(x₂，y₂－3)，·＝0，

∴x₁x₂＋y₁y₂－3(y₁＋y₂)＋9＝0，

即＋9－＋9＝0，解得k²＝5，∴k＝±，

代入y＝kx－3中，得y＝±x－3为所求方程．