Question

1．在数列{a_n}和等比数列{b_n}中，a₁=0，a₄=3，b_n=2${\;}^{{a}_{n}+1}$（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}及{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （I）利用等比数列的通项公式即可得出．
（II）依题意c_n=a_n•b_n=（n-1）•2ⁿ．利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）依题意b₁=2，b₄=2⁴=16，
设数列{b_n}的公比为q，由b₄=${b}_{1}{q}^{3}$=2q³=16，得q³=8，解得q=2，
故b_n=2×2^n-1=2ⁿ，
又由${2}^{{a}_{n}+1}$=2ⁿ，得a_n=n-1．
（Ⅱ）依题意c_n=a_n•b_n=（n-1）•2ⁿ．
∴S_n=0+2²+2×2³+3×2⁴+…+（n-1）•2ⁿ，①
则2S_n=0+2³+2×2⁴+…+（n-2）•2ⁿ+（n-1）•2ⁿ⁺¹   ②
①-②得-S_n=2²+2³+…+2ⁿ-（n-1）•2ⁿ⁺¹=$\frac{4（{2}^{n-1}-1）}{2-1}$-（n-1）•2ⁿ⁺¹=（2-n）•2ⁿ⁺¹-4，
∴S_n=4+（n-2）•2ⁿ⁺¹．

点评 本小题主要考查“错位相减法”、等比数列的通项公式与前n项和公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想等，属于中档题．