Question

10．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，已知S_n=2ⁿ+2．
（1）求{a_n}的通项公式
（2）若数列{b_n}满足a_nb_n=log₂a_n，求{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）当n＞1时利用a_n=S_n-S_n-1计算可知a_n=2^n-1，进而计算可得结论；
（2）通过（1）可知log₂a_n=$\left\{\begin{array}{l}{2，}&{n=1}\\{n-1，}&{n≥2}\end{array}\right.$，从而b_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}，}&{n=1}\\{\frac{n-1}{{2}^{n-1}}，}&{n≥2}\end{array}\right.$，当n＞1时通过T_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n-1}}$与$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{2}{{2}^{3}}$+$\frac{3}{{2}^{4}}$+…+$\frac{n-2}{{2}^{n-1}}$+$\frac{n-1}{{2}^{n}}$错位相减，计算可知T_n=$\frac{5}{2}$-$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，进而可得结论．

解答 解：（1）依题意，当n＞1时，a_n=S_n-S_n-1
=（2ⁿ+2）-（2^n-1+2）
=2^n-1，
又∵a₁=2¹+2=4不满足上式，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=$\left\{\begin{array}{l}{4，}&{n=1}\\{{2}^{n-1}，}&{n≥2}\end{array}\right.$；
（2）由（1）可知log₂a_n=$\left\{\begin{array}{l}{2，}&{n=1}\\{n-1，}&{n≥2}\end{array}\right.$，
又∵数列{b_n}满足a_nb_n=log₂a_n，
∴b_n=$\frac{lo{g}_{2}{a}_{n}}{{a}_{n}}$=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}，}&{n=1}\\{\frac{n-1}{{2}^{n-1}}，}&{n≥2}\end{array}\right.$，
∴当n＞1时T_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n-1}}$，
∴$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{2}{{2}^{3}}$+$\frac{3}{{2}^{4}}$+…+$\frac{n-2}{{2}^{n-1}}$+$\frac{n-1}{{2}^{n}}$，
错位相减得：$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-$\frac{n-1}{{2}^{n}}$
=$\frac{1}{4}$+$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n-1}{{2}^{n}}$
=$\frac{5}{4}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}}$-$\frac{n-1}{{2}^{n}}$
=$\frac{5}{4}$-$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$，
∴T_n=$\frac{5}{2}$-$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，
又∵T₁=b₁=$\frac{1}{2}$不满足上式，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}，}&{n=1}\\{\frac{5}{2}-\frac{2n-1}{{2}^{n}}，}&{n≥2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．