设n∈N*.圆Cn:x2+y2=R${\;} {n}^{2}$(Rn＞0)与y轴正半轴的交点为M.与曲线y=$\sqrt{x}$的交点为N(xn.yn).直线MN与x轴的交点为A(an.0)．(Ⅰ)用xn表示Rn和an(Ⅱ)若数列{xn}满足(xn+1)2=(xn-l+1)(xn+l+1).xl=3.x2=15．(i)求常数p的值.使得数列{an+1-pan)成等比数列,(ii)� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

9．设n∈N^*，圆C_n：x²+y²=R${\;}_{n}^{2}$（R_n＞0）与y轴正半轴的交点为M，与曲线y=$\sqrt{x}$的交点为N（x_n，y_n），直线MN与x轴的交点为A（a_n，0）．
（Ⅰ）用x_n表示R_n和a_n
（Ⅱ）若数列{x_n}满足（x_n+1）²=（x_n-l+1）（x_n+l+1）（n≥2），x_l=3，x₂=15．
（i）求常数p的值，使得数列{a_n+1-pa_n）成等比数列；
（ii）比较a_n与2×3ⁿ的大小．

分析（Ⅰ）由曲线的交点坐标适合曲线方程可得${{R}_{n}}^{2}={{x}_{n}}^{2}+{{y}_{n}}^{2}={{x}_{n}}^{2}+{x}_{n}$，再由点N（x_n，y_n）在直线MN上，得：$\frac{{x}_{n}}{{a}_{n}}+\frac{\sqrt{{x}_{n}}}{\sqrt{{{x}_{n}}^{2}+{x}_{n}}}=1$．求解可得${a}_{n}=1+{x}_{n}+\sqrt{1+{x}_{n}}$；
（Ⅱ）由（x_n+1）²=（x_n-l+1）（x_n+l+1），知{x_n+1}为等比数列，求出$1+{x}_{n}=4•{4}^{n-1}={4}^{n}$，可得${a}_{n}={4}^{n}+\sqrt{{4}^{n}}={4}^{n}+{2}^{n}$．
（i）由${a}_{n+1}-p•{a}_{n}=…=（4-p）•{4}^{n}+（2-p）•{2}^{n}$，${a}_{n+2}-p•{a}_{n+1}=…=（16-4p）+（4-2p）•{2}^{n}$，结合数列{a_n+1-pa_n）成等比数列求得p值，说明当p=2时，数列{a_n+1-pa_n）成公比为4的等比数列．当p=4时，数列
{a_n+1-pa_n）成公比为2的等比数列；
（ii）由（i）知，${a}_{n}={4}^{n}+{2}^{n}$，当n=1时，${a}_{1}=6=3•{2}^{1}$；当n≥2时，${a}_{n}={4}^{n}+{2}^{n}＞2•{3}^{n}$．构造函数f（x）=（x+1）ⁿ-xⁿ（x＞0），求导得f（x）=（x+1）ⁿ-xⁿ（x＞0）是增函数，得到4ⁿ-3ⁿ＞3ⁿ-2ⁿ．即${a}_{n}={4}^{n}+{2}^{n}＞2•{3}^{n}$．

解答解：（Ⅰ）y=$\sqrt{x}$与圆交于点N，则${{R}_{n}}^{2}={{x}_{n}}^{2}+{{y}_{n}}^{2}={{x}_{n}}^{2}+{x}_{n}$，即${R}_{n}=\sqrt{{{x}_{n}}^{2}+{x}_{n}}$，由题意知，点M的坐标为（0，R_n），
从而直线MN的方程为$\frac{x}{{a}_{n}}+\frac{y}{{R}_{n}}=1$，由点N（x_n，y_n）在直线MN上，得$\frac{{x}_{n}}{{a}_{n}}+\frac{{y}_{n}}{{R}_{n}}=1$．
将${R}_{n}=\sqrt{{{x}_{n}}^{2}+{x}_{n}}$，${y}_{n}=\sqrt{{x}_{n}}$代入得：$\frac{{x}_{n}}{{a}_{n}}+\frac{\sqrt{{x}_{n}}}{\sqrt{{{x}_{n}}^{2}+{x}_{n}}}=1$．
∴${a}_{n}=\frac{{x}_{n}\sqrt{{x}_{n}+1}}{\sqrt{{x}_{n}+1}-1}=1+{x}_{n}+\sqrt{1+{x}_{n}}$，即${a}_{n}=1+{x}_{n}+\sqrt{1+{x}_{n}}$；
（Ⅱ）由（x_n+1）²=（x_n-l+1）（x_n+l+1），知{x_n+1}为等比数列，
由1+x₁=4，1+x₂=16知，公比为4，故$1+{x}_{n}=4•{4}^{n-1}={4}^{n}$，
∴${a}_{n}={4}^{n}+\sqrt{{4}^{n}}={4}^{n}+{2}^{n}$．
（i）${a}_{n+1}-p•{a}_{n}=…=（4-p）•{4}^{n}+（2-p）•{2}^{n}$，
${a}_{n+2}-p•{a}_{n+1}=…=（16-4p）+（4-2p）•{2}^{n}$，
令a_n+2-p•a_n+1=q（a_n+1-p•a_n），得
（16-4p）•4ⁿ+（4-2p）•2ⁿ=q（4-p）•4ⁿ+q（2-p）•2ⁿ，
由等式（16-4p）•2ⁿ+（4-2p）=q（4-p）•2ⁿ+q（2-p）对于任意n∈N^*成立得：
$\left\{\begin{array}{l}{16-4p=q（4-p）}\\{4-2p=q（2-p）}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{p=2}\\{q=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{p=4}\\{q=2}\end{array}\right.$．
故当p=2时，数列{a_n+1-pa_n）成公比为4的等比数列．
当p=4时，数列{a_n+1-pa_n）成公比为2的等比数列；
（ii）由（i）知，${a}_{n}={4}^{n}+{2}^{n}$，
当n=1时，${a}_{1}=6=3•{2}^{1}$；当n≥2时，${a}_{n}={4}^{n}+{2}^{n}＞2•{3}^{n}$．
事实上，令f（x）=（x+1）ⁿ-xⁿ（x＞0），则f′（x）=n[（x+1）^n-1-x^n-1]＞0．
故f（x）=（x+1）ⁿ-xⁿ（x＞0）是增函数，
∴f（3）＞f（2），即4ⁿ-3ⁿ＞3ⁿ-2ⁿ．
即${a}_{n}={4}^{n}+{2}^{n}＞2•{3}^{n}$．