Question

14．利用计算机随机模拟方法计算y=4x²与y=4所围成的区域Ω的面积时，可以先运行以下算法步骤：
第一步：利用计算机产生两个在[0，1]区间内的均匀随机数a，b；
第二步：对随机数a，b实施变换：$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=2a-1}\\{{b}_{1}=4b}\end{array}\right.$，得到点A（a₁，b₁）；
第三步：判断点A（a₁，b₁）的坐标是否满足b₁＜4${a}_{1}^{2}$；
第四步：累计所产生的点A的个数m，及满足b₁＜4${a}_{1}^{2}$的点A的个数n；
第五步：判断m是否小于M（一个设定的数）．若是，则回到第一步，否则，输出n并终止算法．
若设定的M=150，且输出的n=51，则据此用随机模拟方法可以估计出区域Ω的面积为$\frac{132}{25}$．

Answer 1

分析 由第三步可知，n表示y=4x²下方的点A的个数，其概率为$\frac{n}{M}$=$\frac{51}{150}$，故点落在y=4x²上方的概率为1-$\frac{n}{M}$=1-$\frac{51}{150}$=$\frac{33}{50}$；先由计算器做模拟试验结果试验估计，得出点落在阴影部分的点的概率，再转化为几何概型的面积类型求解区域Ω的面积S．

解答 解：由第三步可知，n表示y=4x²下方的点A的个数，其概率为$\frac{n}{M}$=$\frac{51}{150}$，故点落在y=4x²上方的概率为1-$\frac{n}{M}$=1-$\frac{51}{150}$=$\frac{33}{50}$；
矩形的面积为4×2=8，
设区域Ω的面积为S，则有$\frac{S}{8}$=$\frac{33}{50}$，
∴S=$\frac{33}{50}$×8=$\frac{132}{25}$．
故答案为：$\frac{132}{25}$．

点评 本题考查模拟方法估计概率以及几何概型中面积类型，考查学生的计算能力，属于中档题．