Question

二次函数y=

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x²的图象如图所示，点A₀位于坐标原点O，A₁，A₂，A₃，…，在y轴的正半轴上，点B₁，B₂，B₃，…，在二次函数y=

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x²第一象限的图象上，若△A₀B₁A₁，△A₁B₂A₂，△A₂B₃A₃，…，都为等边三角形，则第n个等边三角形A_n-1B_nA_n（n≥1的整数）的边长是

 

．

Answer 1

考点：数列与函数的综合

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：先计算出△A₀B₁A₁；△A₁B₂A₂；△A₂B₃A₂的边长，推理出各边长组成的数列各项之间的排列规律，即可得出结论．

解答： 解：作B₁A⊥y轴于A，B₂B⊥y轴于B，B₃C⊥y轴于C．
设等边△A₀B₁A₁、△A₁B₂A₂、△A₂B₃A₃中，AA₁=a，BA₂=b，CA₂=c．
①等边△A₀B₁A₁中，A₀A=a，
所以B₁A=atan60°=

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a，代入解析式得

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3

×（

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a）²=a，
解得a=0（舍去）或a=1，于是等边△A₀B₁A₁的边长为1×2=2；
②等边△A₂B₁A₁中，A₁B=b，
所以BB₂=btan60°=

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b，B₂点坐标为（

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b，2+b）
代入解析式得

1

3

×（

3

b）²=2+b，
解得b=-1（舍去）或b=2，
于是等边△A₂B₁A₁的边长为2×2=4；
于是n个等边三角形A_n-1B_nA_n（n≥1的整数）的边长是2n．
故答案为：2n．

点评：此题主要考查了二次函数和等边三角形的性质的综合应用，将其性质结合在一起，增加了题目的难度，是一道开放题，有利于培养同学们的探索发现意识．