Question

11．已知点P在椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{36}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1上，点Q在椭圆C₂：$\frac{{y}^{2}}{9}$+x²=1上，O为坐标原点，记ω=$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$，集合{（P，Q）|ω=$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$}，当ω取得最大值时，集合中符合条件的元素有几个（　　）

• A． 2个
• B． 4个
• C． 8个
• D． 无数个

Answer 1

分析 由题意设P和Q的坐标，根据向量数量积的坐标运算及两角和的余弦定理，根据余弦函数的性质，即可判断集合中符合条件的元素个数．

解答 解：P（6cosα，2sinα），α∈[0，2π），Q（cosβ，3sinβ），α∈[0，2π），
$\overrightarrow{OP}$=（6cosα，2sinα），$\overrightarrow{OQ}$=（cosβ，3sinβ），
由ω=$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=6cosαcosβ+6sinαsinβ=6cos（α-β），-2π＜α-β＜2π，
∴α-β=2kπ，
∴k=0，则α=β，
∴当P和Q共线时，ω取得最大值，
故这样的点有无数个，
故选：D．

点评 本题考查椭圆的参数方程，向量数量积的坐标运算，两角和的余弦公式，余弦函数的性质，考查计算能力，属于中档题．