Question

16．设函数f（x）在R上存在导函数f′（x），对于任意的实数x，有f（x）=3x²-f（-x），当x∈（-∞，0）时，f′（x）+$\frac{1}{2}$＜3x，若f（m+3）-f（-m）≤9m+$\frac{27}{2}$，则实数m的取值范围是（　　）

• A． [-$\frac{1}{2}$，+∞）
• B． [-$\frac{3}{2}$，+∞）
• C． [-1，+∞）
• D． [-2，+∞）

Answer 1

分析 利用构造法设g（x）=f（x）-$\frac{3}{2}$x²，推出g（x）为奇函数，判断g（x）的单调性，然后推出不等式得到结果．

解答 解：∵f（x）=3x²-f（-x），
∴f（x）-$\frac{3}{2}$x²+f（-x）-$\frac{3}{2}$x²=0，
设g（x）=f（x）-$\frac{3}{2}$x²，则g（x）+g（-x）=0，
∴函数g（x）为奇函数．
∵x∈（-∞，0）时，f′（x）+$\frac{1}{2}$＜3x，
g′（x）=f′（x）-3x＜-$\frac{1}{2}$，
故函数g（x）在（-∞，0）上是减函数，
故函数g（x）在（0，+∞）上也是减函数，
若f（m+3）-f（-m）≤9m+$\frac{27}{2}$，
则f（m+3）-$\frac{3}{2}$（m+3）²≤f（-m）-$\frac{3}{2}$m²，
即g（m+3）＜g（-m），
∴m+3≥-m，解得：m≥-$\frac{3}{2}$，
故选：B．

点评 本题考查函数奇偶性、单调性、导数的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，难度比较大．