题目内容
7．设函数f（x）=$\sqrt{x-a}$（a∈R），若曲线y=sinx上存在（x0，y0），使得f（f（y0））=y0则a的取值范围为（ ）| A． | [$\frac{1}{4}$，1] | B． | [0，$\frac{1}{4}$] | C． | [$\frac{1}{4}$，1） | D． | [1，+∞） |
分析 由题意可得存在y0∈[0，1]，使f（y0）=y0成立，即f（x）=x在[0，1]上有解，即x-x2=a，x∈[0，1]．利用二次函数的单调性求函数的值域，可得a的范围．
解答 解：由题意可得 y0=sinx0∈[-1，1]，f（y0）=$\sqrt{{y}_{0}-a}$，
∵曲线y=sinx上存在点（x0，y0）使得f（f（y0））=y0，
∴存在y0∈[0，1]，使f（y0）=y0成立，
即f（x）=x在[0，1]上有解，即 x-x2=a 在[0，1]上有解．
令g（x）=x-x2，则a为g（x）在[0，1]上的值域．
由g（x）=-$（x-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{1}{4}$，x∈[0，1]，
∴g（x）∈$[0，\frac{1}{4}]$，即a∈$[0，\frac{1}{4}]$．
故选：B．
点评 本题考查了函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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19．已知函数f（x）的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，若对任意的x都有f（x）+f（-x）=0，当x＞0时，f（x）=log2x，则不等式f（x）＞1的解集为（ ）
| A． | （2，+∞） | B． | （1，+∞） | C． | （$-\frac{1}{2}$，0）∪（2，+∞） | D． | （-1，0）∪（1，+∞） |
16．设函数f（x）在R上存在导函数f′（x），对于任意的实数x，有f（x）=3x2-f（-x），当x∈（-∞，0）时，f′（x）+$\frac{1}{2}$＜3x，若f（m+3）-f（-m）≤9m+$\frac{27}{2}$，则实数m的取值范围是（ ）
| A． | [-$\frac{1}{2}$，+∞） | B． | [-$\frac{3}{2}$，+∞） | C． | [-1，+∞） | D． | [-2，+∞） |
如图，在半径为30cm的半圆形铁皮上截取一块矩形材料A（点A，B在直径上，点C，D在半圆周上），并将其卷成一个以AD为母线的圆柱体罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗）．