Question

1．已知函数f（x）=sin²x+2sinxcosx-cos²x．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，求函数f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角函数二倍角公式及辅助角公式化简f（x），由此得到f（x）的最小值．
（Ⅱ）由x的范围得到2x-$\frac{π}{4}$的范围，由此得到f（x）的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=sin²x+2sinxcosx-cos²x．
∴f（x）=-cos2x+sin2x=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），
∴函数f（x）的最小正周期T=π．
（Ⅱ）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，
2x-$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]
∴sin（2x-$\frac{π}{4}$）∈[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]
∴f（x）∈[-1，$\sqrt{2}$]
∴当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，求函数f（x）的最大值和最小值分别为$\sqrt{2}$和-1．

点评 本题考查三角函数的化简，以及由x的范围得到2x-$\frac{π}{4}$的范围，进而得到f（x）的范围．