题目内容
在△ABC中，角A，B，C对边分别是a，b，c．若2sin2（A+B）=3cosC，c=
，S△ABC=
，则角C= ；a+b= ．
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考点：余弦定理
专题：解三角形
分析：已知等式利用诱导公式及同角三角函数间基本关系化简，求出cosC的值，即可确定出C的度数；利用三角形的面积公式列出关系式，将sinC以及已知面积代入求出bc=6，再利用余弦定理列出关系式，将c，ab与cosC的值代入求出a2+b2=13，利用完全平方公式即可求出a+b的值．
解答：
解：∵sin（A+B）=sinC，
∴2sin2（A+B）=2sin2C=2（1-cos2C）=3cosC，即2cos2C+3cosC-2=0，
整理得：（2cosC-1）（cosC-2）=0，
解得：cosC=
或cosC=2（舍去），
∵C为三角形内角，
∴C=60°；
∵S△ABC=
absinC=
ab=
，
∴ab=6，
由余弦定理得：c2=a2+b2-2abcosC，即7=a2+b2-ab=a2+b2-6，
整理得：a2+b2=13，
∴（a+b）2=a2+b2+2ab=13+12=25，
则a+b=5，
故答案为：60°；25
∴2sin2（A+B）=2sin2C=2（1-cos2C）=3cosC，即2cos2C+3cosC-2=0，
整理得：（2cosC-1）（cosC-2）=0，
解得：cosC=
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∵C为三角形内角，
∴C=60°；
∵S△ABC=
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∴ab=6，
由余弦定理得：c2=a2+b2-2abcosC，即7=a2+b2-ab=a2+b2-6，
整理得：a2+b2=13，
∴（a+b）2=a2+b2+2ab=13+12=25，
则a+b=5，
故答案为：60°；25
点评：此题考查了余弦定理，诱导公式，以及三角形的面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
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