题目内容
已知函数f（x）=2
+
（Ⅰ）求证：f（x）≤5，并说明等号成立的条件；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤|m-2|恒成立，求实数m的取值范围．
| x |
| 5-x |
（Ⅰ）求证：f（x）≤5，并说明等号成立的条件；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤|m-2|恒成立，求实数m的取值范围．
考点：二维形式的柯西不等式,绝对值不等式
专题：选作题,不等式
分析：（Ⅰ）由柯西不等式可得（2
+
）2≤（22+12）[（
）2+（
）2]=25，即可得证；
（Ⅱ）关于x的不等式f（x）≤|m-2|恒成立，等价于|m-2|≥5，即可求出实数m的取值范围．
| x |
| 5-x |
| x |
| 5-x |
（Ⅱ）关于x的不等式f（x）≤|m-2|恒成立，等价于|m-2|≥5，即可求出实数m的取值范围．
解答：
（Ⅰ）证明：由柯西不等式可得（2
+
）2≤（22+12）[（
）2+（
）2]=25
∴f（x）=2
+
≤5，当且仅当
=
，即x=4时等号成立；
（Ⅱ）解：关于x的不等式f（x）≤|m-2|恒成立，等价于|m-2|≥5，
∴m≥7或m≤-3．
| x |
| 5-x |
| x |
| 5-x |
∴f（x）=2
| x |
| 5-x |
| ||
| 2 |
| ||
| 1 |
（Ⅱ）解：关于x的不等式f（x）≤|m-2|恒成立，等价于|m-2|≥5，
∴m≥7或m≤-3．
点评：本题考查柯西不等式，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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