Question

17．将单位圆经过伸缩变换：φ：$\left\{\begin{array}{l}{x′=λx}\\{y′=μy}\end{array}\right.$（λ＞0，μ＞0）得到曲线C：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1
（1）求实数λ，μ的值；
（2）以原点O 为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，将曲线C 上任意一点到极点的距离ρ（ρ≥0）?表示为对应极角θ（0≤θ＜2π）的函数，并探求θ为何值时，ρ取得最小值？

Answer 1

分析 （1）由题意可知实数λ，μ的值，
（2）求出极坐标方程，根据三角函数的性质即可求出最值．

解答 解：（1）由：φ：$\left\{\begin{array}{l}{x′=λx}\\{y′=μy}\end{array}\right.$（λ＞0，μ＞0）得到曲线C：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1，即为（$\frac{x}{2}$）²+（$\frac{y}{\sqrt{2}}$）²=1
∴$\left\{{\begin{array}{l}{λ=2}\\{μ=\sqrt{2}}\end{array}}\right.$，
（2）$ρ=\frac{2}{{\sqrt{{{cos}^2}θ+2{{sin}^2}θ}}}=\frac{2}{{\sqrt{1+{{sin}^2}θ}}}$，
故当$θ=\frac{π}{2}$时，ρ_min=$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查伸缩变换，考查参数方程的运用，属于基础题．