Question

20．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的一个焦点与抛物线y²=20x的焦点重合，且一条渐近线方程为4x+3y=0．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若双曲线上有一点P使得$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0（F₁，F₂为双曲线的左，右焦点），求点P的纵坐标．

Answer 1

分析 （1）先由双曲线的渐近线可知$\frac{b}{a}$=$\frac{4}{3}$，再由抛物线y²=20x的焦点为（5，0）可得双曲线中c=5，最后根据双曲线的性质c²=a²+b²列方程组，解得a²、b²即可．
（2）令PF₁=p，PF₂=q，由勾股定理得p²+q²=|F₁F₂|²，求得p²+q²的值，由双曲线定义：|p-q|=2a两边平方，把p²+q²代入即可求得pq即|PF₁|•|PF₂|的值，利用等面积法可求点P的纵坐标．

解答 解：（1）由双曲线渐近线方程可知$\frac{b}{a}$=$\frac{4}{3}$①
因为抛物线的焦点为（5，0），所以c=5②
又c²=a²+b²③
联立①②③，解得a²=9，b²=16，
所以双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{16}$=1．
（2）令PF₁=p，PF₂=q，
由双曲线定义：|p-q|=2a=6，
平方得：p²-2pq+q²=36，
$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，∠F₁PF₂=90°，由勾股定理得：p²+q²=|F₁F₂|²=100，
所以pq=32，
即|PF₁|•|PF₂|=32，
设点P的纵坐标为y，则$\frac{1}{2}×10×|y|$=$\frac{1}{2}×32$，∴y=±$\frac{16}{5}$．

点评 本题主要考查双曲线和抛物线的标准方程及几何性质，考查双曲线的定义，属于中档题．