Question

12．若C${\;}_{n}^{2}$=C${\;}_{n-1}^{2}$+C${\;}_{n-1}^{3}$（n∈N^*），则（$\root{3}{x}$-$\frac{1}{2\sqrt{x}}$）ⁿ的展开式的常数项为$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 由已知求出n值，写出二项展开式的通项，整理后由x的指数等于0求得r值，则答案可求．

解答 解：由C${\;}_{n}^{2}$=C${\;}_{n-1}^{2}$+C${\;}_{n-1}^{3}$，得$\frac{n!}{2!（n-2）!}=\frac{（n-1）!}{2!（n-3）!}+\frac{（n-1）!}{3!（n-4）!}$，解得：n=5．
（$\root{3}{x}$-$\frac{1}{2\sqrt{x}}$）ⁿ的展开式的通项为T_r+1=${C}_{5}^{r}（\root{3}{x}）^{5-r}（-\frac{1}{2\sqrt{x}}）^{r}$=$（-\frac{1}{2}）^{r}{C}_{5}^{r}{x}^{\frac{10-5r}{6}}$．
由10-5r=0，得r=2．
∴展开式的常数项为$（-\frac{1}{2}）^{2}{C}_{5}^{2}=\frac{5}{2}$．
故答案为：$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查二项式系数的性质，考查了组合数公式的应用，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．