Question

8．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a+b=5，c=$\sqrt{7}$，4sin²C-8sin²$\frac{C}{2}$=1．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用同角三角函数基本关系式和倍角公式化简已知可得4cos²C-4cosC+1=0，解得cosC=$\frac{1}{2}$，结合范围C∈（0，π），即可解得C的值．
（2）由余弦定理可得：7=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab，代入a+b=5，可解得ab=6，利用三角形面积公式即可得解．

解答 解：（1）∵4sin²C-8sin²$\frac{C}{2}$=1．
∴4（1-cos²C）-8（$\frac{1-cosC}{2}$）=1，整理可得：4cos²C-4cosC+1=0，
∴解得：cosC=$\frac{1}{2}$，又C∈（0，π），可得：C=$\frac{π}{3}$．
（2）∵C=$\frac{π}{3}$，c=$\sqrt{7}$，
∴由余弦定理可得：7=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab，
∵a+b=5，可得：7=25-3ab，解得ab=6，
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}absinC$=$\frac{1}{2}×6×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式和倍角公式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．