Question

5．已知函数f（x）=2$\sqrt{3}$sin²（$\frac{π}{4}$+x）+2cos²x-$\sqrt{3}$．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）求函数f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的值域．

Answer 1

分析 （1）利用倍角公式、和差公式可得f（x）=2$sin（2x+\frac{π}{6}）$．即可得出函数f（x）的最小正周期和单调递增区间．
（2）由x∈[0，$\frac{π}{2}$]，可得$（2x+\frac{π}{6}）$∈$[\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}]$，利用正弦函数的单调性与值域可得sin$（2x+\frac{π}{6}）$∈$[-\frac{1}{2}，1]$，即可得出．

解答 解：（1）f（x）=2$\sqrt{3}$sin²（$\frac{π}{4}$+x）+2cos²x-$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}（1-cos（\frac{π}{2}+2x））$+1+cos2x-$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}sin2x$+cos2x=2$sin（2x+\frac{π}{6}）$．
∴$T=\frac{2π}{2}$=π，
由$2kπ-\frac{π}{2}$≤$2x+\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
解得$kπ-\frac{π}{3}$≤x≤$\frac{π}{6}$+kπ，k∈Z，
∴函数f（x）的单调递增区间为[$kπ-\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$+kπ]，k∈Z．
（2）∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴$（2x+\frac{π}{6}）$∈$[\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}]$，
∴sin$（2x+\frac{π}{6}）$∈$[-\frac{1}{2}，1]$，
∴函数f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的值域为[-1，2]．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质、三角函数恒等变换，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．