Question

已知函数f（x）=

ex

x2+x+a

，x∈R．
（1）当a=1时，求f（x）的极值；
（2）当a＞

1

4

时，讨论f（x）的单调性．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数在某点取得极值的条件

专题：导数的综合应用

分析：（1）当a=1时，f′（x）=

ex(x2-x)

(x2+x+1)

，由此利用导数性质能求出f（x）的极值．
（2）a＞

1

4

时，f′（x）=

ex(x2-x+a-1)

(x2+x+a)2

，由此利用分类讨论思想和导数性质能求出f（x）的单调区间．

解答： 解：（1）当a=1时，f′（x）=

ex(x2+x+1)-ex(2x+1)

(x2+x+1)2

=

ex(x2-x)

(x2+x+1)

，
由f′（x）=0，得x=0或x=1，
当x∈（-∞，0）时，f′（x）＞0；当x∈（0，1）时，f′（x）＜0；
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0．
∴f（x）的增区间是（-∞，0），（1，+∞），减区间是（0，1），
∴f（x）_极小值=f（1）=

e

3

，f（x）_极大值=f（0）=1．
（2）a＞

1

4

时，f′（x）=

ex(x2+x+a)-ex(2x+1)

(x2+x+a)2

=

ex(x2-x+a-1)

(x2+x+a)2

，
①当

1

4

＜a＜1时，由f′（x）＞0，得x＜

1- 5-4a

2

或x＞

1+ 5-4a

2

，
由f′（x）＜0，得

1- 5-4a

2

＜x＜

1+ 5-4a

2

，
∴f（x）的增区间是（-∞，

1- 5-4a

2

），（

1+ 5-4a

2

，+∞），
减区间是（

1- 5-4a

2

，

1+ 5-4a

2

）；
②当a=1时，f（x）的增区间是（-∞，0），（1，+∞），减区间是（0，1）；
③当1＜a＜

5

4

时，由f′（x）＞0，得x＜

1- 5-4a

2

或x＞

1+ 5-4a

2

，
由f′（x）＜0，得

1- 5-4a

2

＜x＜

1+ 5-4a

2

，
∴f（x）的增区间是（-∞，

1- 5-4a

2

），（

1+ 5-4a

2

，+∞），
减区间是（

1- 5-4a

2

，

1+ 5-4a

2

）；
④当a≥

5

4

时，f′（x）＞0，f（x）的增区间是（-∞，+∞）．

点评：本题考查函数的极值的求法，考查函数的单调性的讨论，解题时要认真审题，注意导数性质和分类讨论思想的合理运用．