Question

15．对于实数a，b，定义运算“□”：a□b=$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-ab，a≤b}\\{{b}^{2}-ab，a＞b}\end{array}\right.$设f（x）=（x-4）□（$\frac{7}{4}$x-4），若关于x的方程|f（x）-m|=1（m∈R）恰有四个互不相等的实数根，则实数m的取值范围是（-1，1）∪（2，4）．

Answer 1

分析 根据新定义得出f（x）的解析式，作出f（x）的函数图象，则f（x）与y=m±1共有4个交点，根据图象列出不等式组解出．

解答 解：解不等式x-4≤$\frac{7}{4}x$-4得x≥0，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3}{4}{x}^{2}+3x，x≥0}\\{\frac{21}{16}{x}^{2}-3x，x＜0}\end{array}\right.$，
画出函数f（x）的大致图象如图所示．

因为关于x的方程|f（x）-m|=1（m∈R），即f（x）=m±1（m∈R）恰有四个互不相等的实数根，
所以两直线y=m±1（m∈R）与曲线y=f（x）共有四个不同的交点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m+1＞3}\\{0＜m-1＜3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{1＜m+1＜3}\\{m-1＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m+1=3}\\{m-1=0}\end{array}\right.$，
解得2＜m＜4或-1＜m＜1．
故答案为（-1，1）∪（2，4）．

点评 本题考查了函数零点与函数图象的关系，属于中档题．