Question

5．如图，四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，AD=2BC=2，在侧面PAD中，PA=PD，E为侧棱PC上不同于端点的任意一点且PA⊥DE．
（1）证明：平面PAD⊥平面ABCD；
（2）若PA∥平面BDE，求$\frac{CE}{PE}$的值．

Answer 1

分析 （1）推导出PA⊥平面PCD，从而PA⊥CD，再由AD⊥DC，推导出CD⊥平面PAD，由此能证明平面PAD⊥平面ABCD．
（2）连结AC，交BD于O，连结OE，推导出PA∥OE，从而$\frac{CE}{PE}=\frac{CO}{AO}$，由此能求出结果．

解答 证明：（1）∵E是侧棱PC上不同于端点的任意一点，且PA⊥DE，
∴PA⊥平面PCD，
∵CD?平面PCD，∴PA⊥CD，
∵AD⊥DC，PA∩AD=A，PA，AD?平面PAD，
∴CD⊥平面PAD，
∵CD?平面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD．
解：（2）连结AC，交BD于O，连结OE，
∴平面PAD∩平面BDE于O，
∵PA∥平面BDE，PA?平面PAC，
∴PA∥OE，∴$\frac{CE}{PE}=\frac{CO}{AO}$，
∵AD∥BC，AD=2BC，
∴$\frac{CO}{AO}=\frac{CB}{AD}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{CE}{PE}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查两线段比值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．