Question

10．已知三棱锥P-ABC的各顶点都在同一球的面上，且PA⊥平面ABC，若球O的体积为$\frac{20\sqrt{5}π}{3}$（球的体积公式为$\frac{4π}{3}$R³，其中R为球的半径），AB=2，AC=1，∠BAC=60°，则三棱锥P-ABC的体积为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• B． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\frac{4\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 如图所示，在△ABC中，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，利用余弦定理可得：BC=$\sqrt{3}$，利用勾股定理的逆定理可得∠ACB=90°．取AB的中点D，则球心O满足OD⊥平面ABC．又PA⊥平面ABC，可得三棱锥P-ABC的外接球的球心O为PB的中点．OD=$\frac{1}{2}$PA．由球的体积计算公式可得：$\frac{4π}{3}$R³=$\frac{20\sqrt{5}π}{3}$，解得R．OD=$\sqrt{{R}^{2}-A{D}^{2}}$，利用三棱锥P-ABC的体积V=$\frac{1}{3}×{S}_{△ABC}×$PA即可得出．

解答 解：如图所示，在△ABC中，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，则BC²=2²+1²-2×1×2×cos60°=3，
解得BC=$\sqrt{3}$，∴${1}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}={2}^{2}$．
∴∠ACB=90°．
取AB的中点D，则球心O满足OD⊥平面ABC．
又PA⊥平面ABC，∴三棱锥P-ABC的外接球的球心O为PB的中点．
∴OD=$\frac{1}{2}$PA．
由球的体积计算公式可得：$\frac{4π}{3}$R³=$\frac{20\sqrt{5}π}{3}$，解得R=$\sqrt{5}$．
∴OD=$\sqrt{{R}^{2}-A{D}^{2}}$=2．
∴PA=4
∴三棱锥P-ABC的体积V=$\frac{1}{3}×{S}_{△ABC}×$PA=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}×4$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故选：B．

点评 本题考查了空间位置关系、线面垂直的判定与性质定理、三棱锥的体积计算公式、勾股定理与逆定理、三角形中位线定理、球的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．