Question

13．已知曲线C上的任一点到点F（0，1）的距离减去它到x轴的距离的差都是1．
（1）求曲线C的方程；
（2）设直线y=kx+m（m＞0）与曲线C交于A，B两点，若对于任意k∈R都有$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$＜0，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意设曲线C上的任一点为P（x，y），列出$\sqrt{{x}^{2}+（{y-1）}^{2}}-|y|=1$，化简求解即可；
（2）联立方程y=kx+m及x²=4y，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用韦达定理x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4m，通过$\overrightarrow{FA}•\overrightarrow{FB}$=-4k²+（m-1）²-4m＜0，求解m 即可．

解答 解：（1）曲线C上的任一点到点F（0，1）的距离减去它到x轴的距离的差都是1．
由题意设曲线C上的任一点为P（x，y），
则$\sqrt{{x}^{2}+（{y-1）}^{2}}-|y|=1$，即x²=2y+2|y|；
当y≥0时，x²=4y，
当y＜0时，x=0．
曲线C的方程：x²=4y，（y≥0）或x=0（y＜0）．
（2）直线y=kx+m（m＞0）与曲线C交于A，B两点，可知曲线C的方程：x²=4y，（y≥0）．
联立方程y=kx+m及x²=4y，得x²-4kx-4m=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4m，
所以$\overrightarrow{FA}•\overrightarrow{FB}$=-4k²+（m-1）²-4m＜0，对任意的k∈R恒成立，（m-1）²-4m＜0，
解得3-2$\sqrt{2}$$＜m＜3+2\sqrt{2}$．

点评 本题考查轨迹方程的求法，直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．