Question

11．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n=a₁+$\frac{1}{2}{a_2}+\frac{1}{3}{a_3}+…+\frac{1}{n-1}{a_{n-1}}$（n≥2，n∈N*），若a_k=2017，则k=2017．

Answer 1

分析 由a_n=a₁+$\frac{1}{2}{a_2}+\frac{1}{3}{a_3}+…+\frac{1}{n-1}{a_{n-1}}$（n≥2，n∈N*），a_n+1=a₁+$\frac{1}{2}{a_2}+\frac{1}{3}{a_3}+…+\frac{1}{n-1}{a_{n-1}}$+$\frac{1}{n}$a_n，（n≥2，n∈N*），两式相减整理得：$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n+1}{n}$，累乘即可求得a_n=n，即可求得k的值．

解答 解：根据题意得，a_n=a₁+$\frac{1}{2}{a_2}+\frac{1}{3}{a_3}+…+\frac{1}{n-1}{a_{n-1}}$（n≥2，n∈N*），
a_n+1=a₁+$\frac{1}{2}{a_2}+\frac{1}{3}{a_3}+…+\frac{1}{n-1}{a_{n-1}}$+$\frac{1}{n}$a_n，（n≥2，n∈N*），
∴a_n+1=a_n+$\frac{1}{n}$a_n，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n+1}{n}$，
a_n=2×$\frac{3}{2}$×…×$\frac{n}{n-1}$=n，（n≥2，n∈N*），
∴a_n=n，
由a_k=2017，则k=2017，
故答案为：2017．

点评 本题考查数列的递推公式，考查数列通项公式的求法，考查计算能力，属于中档题．