Question

6．（1）已知$sinα=\frac{3}{5}$，$cosβ=\frac{4}{5}$，其中$α∈（\frac{π}{2}，π）$，$β∈（0，\frac{π}{2}）$，求cos（α+β）；
（2）已知$cosα=\frac{1}{7}$，$cos（α-β）=\frac{13}{14}$，且$0＜β＜α＜\frac{π}{2}$，求β的值．

Answer 1

分析 （1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求$cosα=-\frac{4}{5}$，$sinβ=\frac{3}{5}$，利用两角和的余弦函数公式即可计算得解．
（2）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinα，sin（α-β）的值，进而利用两角差的正弦函数公式即可计算得解sinβ的值，结合范围可求β的值．

解答 解：（1）∵$α∈（\frac{π}{2}，π）$，$β∈（0，\frac{π}{2}）$，$sinα=\frac{3}{5}$，$cosβ=\frac{4}{5}$，
∴$cosα=-\frac{4}{5}$，$sinβ=\frac{3}{5}$，
∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=$（-\frac{4}{5}）×\frac{4}{5}-\frac{3}{5}×\frac{3}{5}=-1$．
（2）∵$0＜α＜\frac{π}{2}$，$cosα=\frac{1}{7}$，∴$sinα=\frac{{4\sqrt{3}}}{7}$，
∵$0＜β＜α＜\frac{π}{2}$，$cos（α-β）=\frac{13}{14}$，∴$0＜α-β＜\frac{π}{2}$，∴$sin（α-β）=\frac{{3\sqrt{3}}}{14}$，
∴sinβ=sin（α-（α-β））=sinαcos（α-β）-cosαsin（α-β）=$\frac{{4\sqrt{3}}}{7}×\frac{13}{14}-\frac{1}{7}×\frac{{3\sqrt{3}}}{14}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴$β=\frac{π}{3}$．

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的余弦函数公式，两角差的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．