Question

19．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中将底面为直角三角形，且侧棱与底面垂直的棱柱称为堑堵，将底面为矩形的棱台称为刍童．在如图所示的堑堵ABM-DCP与刍童的组合体中AB=AD，A₁B₁=A₁D₁．棱台体积公式：V=$\frac{1}{3}$（S′+$\sqrt{S′S}$+S）h，其中S′，S分别为棱台上、下底面面积，h为棱台高．
（Ⅰ）证明：直线BD⊥平面MAC；
（Ⅱ）若AB=1，A₁D₁=2，MA=$\sqrt{3}$，三棱锥A-A₁B₁D₁的体积V=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，求该组合体的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明AD⊥MA，推出MA⊥平面ABCD，得到MA⊥BD．结合BD⊥AC，证明BD⊥平面MAC．
（Ⅱ）设刍童ABCD-A₁B₁C₁D₁的高为h，利用几何体的体积公式，转化求解即可．

解答 解：（Ⅰ）证明：由题可知ABM-DCP是底面为直角三角形的直棱柱，
∴AD⊥平面MAB，
又MA?平面MAB，∴AD⊥MA，
又MA⊥AB，AD∩AB=A，AD，AB?平面ABCD，
∴MA⊥平面ABCD，
又BD?平面ABCD，
∴MA⊥BD．
又AB=AD，∴四边形ABCD为正方形，
∴BD⊥AC，
又MA∩AC=A，MA，AC?平面MAC，
∴BD⊥平面MAC．…（6分）
（Ⅱ）设刍童ABCD-A₁B₁C₁D₁的高为h，
则三棱锥A-A₁B₁D₁体积V=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×h$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴h=$\sqrt{3}$，
故该组合体的体积为V=$\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}×1+\frac{1}{3}（{1}^{2}+{2}^{2}+\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}）×\sqrt{3}$=$\frac{17\sqrt{3}}{6}$．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，组合体的体积的求法，考查计算能力．